卢卡斯-莱默测试(Lucas-Lehmer testing)--------------------------------------------------------------------------------卢卡斯-莱默素性测试是非常简单的：如果 P > 2， 2P-1 是素数当且仅当 SP-2 = 0，其中，S0 = 4，SN = (SN-12 - 2) mod (2P-1)。例如，证明 27 - 1 是素数的过程如下：S0 = 4 S1 = (4 * 4 - 2) mod 127 = 14 S2 = (14 * 14 - 2) mod 127 = 67 S3 = (67 * 67 - 2) mod 127 = 42 S4 = (42 * 42 - 2) mod 127 = 111 S5 = (111 * 111 - 2) mod 127 = 0为了高效地实现卢卡斯-莱默测试，我们必须寻找对巨大的数进行平方及对 2P-1 取余的快速方法。自二十世纪六十年代后期以来，对巨大的数进行平方的最快速的算法是：把巨大的数分裂成小片形成一个大数组，然后执行快速傅里叶变换(FFT)，逐项平方，然后再进行快速傅里叶逆变换(IFFT)。参见克努特的《计算机程序设计艺术》第二卷“乘法能有多快？”一节(译注:中文版第267页)。1994年1月，由理查德・克兰多尔(Richard Crandall)和巴里・费金(Barry Fagin) 合著的题为“离散加权变换和大整数算术”的计算数学文章，引入了无理底数 FFT 的概念。这个改进使得计算平方的速度提高两倍以上，允许使用较小的 FFT，并且这一过程中自动执行了对 2P-1 取余步骤。虽然由于英特尔公司的奔腾处理器体系结构的原因，GIMPS 程序使用浮点 FFT，但彼得・蒙哥马利(Peter Montgomery)给出的一个纯整数加权变换的方法也能够被使用。正如上一段所提到的，GIMPS 使用汇编语言编写的浮点 FFT 算法，充分利用流水线和高速缓存。因为浮点运算是不精确的，在每次迭代后浮点值舍入到整数。本来该有的整数结果和程序计算出来的浮点结果之间的差异叫做“卷折误差”。如果卷折误差超过 0.5 则舍入将产生不正确的结果 - 这意味着必须使用更大的 FFT。GIMPS 程序的错误检查确保最大卷折误差不超过 0.4。不幸地，这种错误检查的代价相当高，以致于不能在每次平方后都进行检查。存在另外一种代价很低的错误检查。FFT 平方的一个性质是：(输入 FFT 值的和)2 = (输出 IFFT 值的和)由于我们使用浮点数，我们必须将上式中的“等于”改为“约等于”。如果上式中两个值实质上不等，将给出一个在 readme.txt 文件中描述过的 SUMINP != SUMOUT 错误。如果输入 FFT 值的和是一个非法的浮点数(例如无穷大)，将给出一个 ILLEGAL SUMOUT 错误。不幸地，这种错误检查无法发现我们将在下一节中描述的所有错误。卢卡斯-莱默测试发现一个新的梅森素数的概率有多大？一个简单的估计是再次利用发现一个 2X 到 2X+1 之间的因子的概率大约是 1/X 的事实。例如，你已经使用试验分解因子证明 210000139-1 没有比 264 小的因子，那么它是素数的概率是: 没有 65 二进位因子的概率 * 没有 66 二进位因子的概率 * ... * 没有 5000070 二进位因子的概率，即：64 65 5000069 -- * -- * ... * ------- 65 66 5000070化简后得到：64 / 5000070，或者 1 / 78126。这个简单的估计不是很准确，它给出的公式是: (试验分解因子到多大的指数) / (指数/2)。进一步的工作表明更精确公式是：(试验分解因子到多大的指数-1) / (指数 * 欧拉常数(0.577...))。在上例中，是 1 / 91623。这个更精确的公式是未经证明的。

导演 卢卡斯 呵呵